Spazio colonna di una matrice

L'algebra lineare è un ampio argomento di matematica con applicazioni in varie situazioni del mondo reale, in particolare nell'apprendimento automatico. Le matrici e i vettori sono i mattoni fondamentali dell'algebra lineare e vengono utilizzati in una varietà di procedure e strumenti. Lo spazio della colonna di una matrice sarà discusso in questo articolo. Esamineremo anche diverse terminologie necessarie per comprendere lo spazio delle colonne della matrice.

Qual è l'intervallo di un vettore?

Span significa semplicemente che, dato un insieme di vettori, se viene applicata una combinazione lineare a quell'insieme di vettori e rimane all'interno di quello spazio vettoriale, si estende su quello spazio vettoriale. Ciò significa che se si moltiplichi uno scalare per un vettore specifico, rimarrà all'interno di quella dimensione, sia che tu stia lavorando con la prima, la terza o il nth dimensione. Si dice che "si estende dappertutto in quella dimensione. Quando si moltiplica un set di vettori per uno scalare, indica semplicemente che l'insieme di vettori con cui si lavora può coprire (o essere posizionato ovunque all'interno) la dimensione completa (o lo spazio vettoriale) con cui stai lavorando.

Cos'è la combinazione lineare?

Supponiamo di avere una serie di oggetti matematici x₁.. .X_N che supportano la moltiplicazione e l'aggiunta scalari (e.G., membri di un anello o uno spazio vettoriale), quindi y = a₁X₁+UN₂X₂+… UN_NX_N (dove l'intelligenza artificiale sono alcuni valori scalari). L'illustrazione più popolare è utilizzare i vettori 3D nello spazio euclideo. Un vettore che risiede nello stesso piano attraverso l'origine dei due vettori originali messi all'origine è una combinazione lineare di due di questi vettori.

Quali sono gli spazi di riga e colonna?

Supponiamo che A sia una matrice MXN sul campo f. Poi ci sono vettori di componente N nelle righe e ce ne sono M. Allo stesso modo, ogni vettore di componente M è rappresentato da n colonne. Il sottospazio di F^N Formata dai vettori di riga è lo spazio di riga di A e i suoi elementi sono combinazioni lineari dei vettori di riga. Questo spazio ha una dimensione e le colonne costringono tali relazioni tra le righe e viceversa. Allo stesso modo, lo spazio colonna della matrice è il sottospazio di F^M formato dai vettori della colonna della matrice. Sebbene questo spazio sia distinto dallo spazio delle righe in generale, ha le stesse dimensioni dello spazio delle righe poiché qualsiasi relazione lineare tra le colonne impone anche tali relazioni tra le righe e viceversa.

Immergiti di più nello spazio della colonna

L'intervallo è il concetto più fondamentale. In poche parole, l'intervallo delle colonne di un determinato vettore è ciò che chiamiamo spazio colonna. Puoi prendere tutte le possibili combinazioni lineari di vettori se ne hai una raccolta. Lo spazio vettoriale risultante è noto come l'intervallo della collezione originale. Lo spazio della colonna è una raccolta di un set di tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori della colonna della matrice. In altre parole, se un vettore B in r^M Può essere espresso come una combinazione lineare delle colonne di A, è nello spazio delle colonne di A. Cioè, b ∈ Cs (a) precisamente quando esistono scalari x₁, X₂,… , X_N tale che

Come prodotto di un vettore di colonna, qualsiasi combinazione lineare dei vettori di colonna di una matrice A può essere scritta:

Pertanto, lo spazio colonna della matrice A è costituito da tutti i possibili prodotti a*x, per x ∈ C^N. Il risultato sopra è anche l'immagine della trasformazione della matrice corrispondente.

Di solito indichiamo gli spazi di riga e colonna della matrice (diciamo a) di c (at) e c (a), rispettivamente.

Conclusione

Questo articolo ha riguardato vari argomenti relativi allo spazio delle colonne della matrice. L'arco di un vettore è lo spazio che rimane invariato dopo che una combinazione lineare viene applicata alla raccolta di vettori. Dopo aver moltiplicato un insieme di vettori e scalari, la somma è chiamata combinazione lineare. La raccolta di tutte le combinazioni lineari immaginabili dei vettori di colonna di una matrice è lo spazio della colonna della matrice.